rapports géométriques fut édifiée, qui conduit à étudier sous une forme plus maniable certaines relations quantitatives : ces relations sont celles que nous tirons aujourd’hui du calcul algébrique des proportions.
Plus tard encore, le développement de la théorie des sections coniques fournit une nouvelle méthode pour l’étude des problèmes géométriques qui correspondent aux équations du deuxième ou troisième degré. Ainsi Apollonius ramène, par exemple, le problème de la duplication du cube (c’est-à-dire la résolution de l’équation x³ = 2a³) à la construction de l’intersection deux paraboles.
Les diverses méthodes dont nous venons de parler permettaient, sans doute, aux savants helléniques de traiter géométriquement certaines des questions que nous résolvons aujourd’hui par l’algèbre, et voilà pourquoi on leur a donné le nom d’ « algèbre géométrique des Grecs ». Mais, si cette dénomination nous donne une idée assez exacte du champ d’application des méthodes en question, elle en exprime très imparfaitement l’esprit et le point de vue. La théorie du rectangle, celle des rapports et celle des intersections de coniques sont en réalité des théories géométriques, fondées sur certaines propriétés des figures, et qui ne font intervenir la quantité que pour la résoudre immédiatement en qualité. Nulle part, dans ces théories, nous ne voyons apparaitre la conception proprement algébrique de la grandeur spatiale, l’idée que cette grandeur et le nombre arithmétique appartiennent au même ordre de notions, et se prêtent
quantitatifs de la géométrie plane, et il n’expose qu’ensuite la méthode des proportions. Certains historiens ont conclu de là que cette dernière méthode n’avait dû entrer dans l’usage courant que peu de temps avant l’époque à laquelle fut conçu le plan des Éléments.
