qu’en soient déroulées les conséquences — ne pourra jamais satisfaire la curiosité et les aspirations du mathématicien. Pour acquérir sur les fonctions des connaissances neuves et fécondes, il est indispensable de retoucher sans cesse les définitions et les principes sur lesquels on opère. En d’autres termes, les progrès les plus importants que réalisent les mathématiciens sont obtenus, non en perfectionnant la forme, mais en modifiant le fond de la théorie. Ces progrès ne sauraient être regardés comme étant d’ordre logique.
Dans la discussion qui précède, nous nous sommes attachés aux postulats des théories parce que c’est à l’occasion de ces postulats que l’insuffisance des méthodes logiques apparaît le plus clairement. Mais les remarques que nous avons faites trouvent à s’appliquer, non seulement au point de départ, mais d’un bout à l’autre de l’œuvre mathématique.
Les systèmes ou théories que construisent les mathématiciens présentent toujours, en effet, certains caractères bien déterminés qui ont été mis en évidence par les géomètres grecs et qui tiennent à la forme logique de ces systèmes. Ils se présentent sous l’aspect d’une chaîne de propositions ; nous voulons dire qu’ils sont constitués par une suite de propositions, déduites méthodiquement les unes des autres, et se succédant dès lors dans un certain ordre que nous dictent les nécessités de la démonstration. La préséance ainsi établie entre un ensemble de propriétés — par exemple, les propriétés du cercle ou de l’ellipse — est fondamentale au point de vue logique : parmi ces propriétés, en effet, il en est qui sont plus rapprochées que d’autres des définitions et des postulats, et qui doivent par suite être classées les
