conques. Ainsi la voie que devaient suivre les fondateurs de la théorie des fonctions se trouvait ouverte. Pour surmonter une difficulté analogue à celle qu’avaient rencontrée les arithméticiens, ils n’avaient qu’à employer des procèdes semblables.
De même, en effet qu’il est possible de représenter un nombre irrationnel par une expression arithmétique convergente, de même il est possible de représenter, avec une approximation arbitrairement grande, des fonctions telles que ex, log x, sin x, par des expressions algébriques convergentes où entre une variable x. C’est ainsi qu’en 1668, Mercator[1], pour étudier les logarithmes népériens, utilisa la formule suivante :
où le second membre est, pour toute valeur de x inférieure à 1, une série convergente.
Ce mode de définition des fonctions fut précisé et généralisé par Newton. Newton découvrit en effet, la forme du développement du binôme (1 + x)m pour une valeur quelconque (positive ou négative, rationnelle ou irrationnelle de l’exposant)[2] ; il obtint, d’autre part, le développement de la fonction arc tang x
et de même celui de arc sin x : enfin, en trouvant le moyen d’inverser une série, Newton passa de ces développements, et de celui du logarithme, aux développe-
