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LA DEMI-RELATIVITÉ

$x'{\scriptstyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ ; et le temps mis à parcourir cet espace n’est pas $t'$, mais ${\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)}$. Il en conclura que la vitesse à ajouter à $v$ pour obtenir $v''$ n’est pas $v'$, mais

${\frac {x'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)}}$

c’est-à-dire

${\frac {v'\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}{1+{\frac {vv'}{c^{2}}}}}$

Il aura alors :

$v''=v+{\frac {v'\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}{1+{\frac {vv'}{c^{2}}}}}={\frac {v+v'}{1+{\frac {vv'}{c^{2}}}}}$

Par où l’on voit qu’aucune vitesse ne saurait dépasser celle de la lumière, toute composition d’une vitesse quelconque $v'$ avec une vitesse $v$ supposée égale à $c$ donnant toujours pour résultante cette même vitesse $c$.

Telles sont donc, pour revenir à notre première hypothèse, les formules que Paul aura présentes à l’esprit s’il veut passer de son point de vue à celui de Pierre et obtenir ainsi, — tous les observateurs attachés à tous les systèmes mobiles $S''$, $S'''$, etc.