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uniforme. Enfin nous repérons les événements dans un système $S$ lié à $M_{1}$.

Il importe de remarquer que $M_{2}$, ayant quitté en $A$ le système uniforme $S$ pour y revenir en $B$ (ou seulement pour y passer en $B$), a nécessairement subi une accélération entre les événements A${\displaystyle }$ et $B$.

Prenons deux époques $t$ et $t+dt$ du temps du système $S$, comprises entre les époques $t_{A}$ et $t_{B}$ auxquelles se produisent, toujours dans le système $S$ lié à $M_{1}$, les événements $A$ et $B$. Aux époques $t$ et $t+dt$, le second mobile $M_{2}$ est repéré $x,y,z,t$ ; $x+dx$, $y+dy$, $z+dz$, $t+dt$ dans le système $S$ ; ces coordonnées déterminent, sur la ligne d’Univers de $M_{2}$, deux événements $C$ et $D$ infiniment voisins, dont l’intervalle est $ds$ ; on a^[1]

$ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+c^{2}dt^{2}$

mais on a aussi

$ds=c\,d\tau$,

$d\tau$ étant l’élément de temps propre du mobile $M_{2}$. On déduit de là^[2]

${\begin{aligned}ds^{2}&=c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}\left\{1-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]\right\}\\&=c^{2}dt^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)=\alpha ^{2}c^{2}dt^{2},\end{aligned}}$

1. On écrit le plus souvent ainsi l’expression de l’invariant (plutôt que de la manière adoptée dans le livre), pour éviter que $s^{2}$ soit négatif, comme il arriverait dans le cas le plus fréquent, celui où la distance des deux événements dans l’espace est plus petite que le chemin parcouru par la lumière pendant l’intervalle de temps qui les sépare. Ce cas est le seul où, d’après ta théorie de là Relativité, une action soit possible de l’un des deux événements sur l’autre. Telle est précisément l’hypothèse où l’on se place ci-dessus.
2. On désigne ici par a le facteur ${\scriptstyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$.