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Paul constate donc que l’horloge du système Terre devant laquelle il passe est en avance d’une heure sur la sienne ; bien entendu, il n’a pas à donner de coup de pouce à son horloge ; il enregistre le désaccord. Poursuivant son voyage, il constate que la différence des heures entre son horloge et les horloges qu’il rencontre successivement croit proportionnellement au temps marque par son horloge, si bien qu’en arrivant en $B$ son horloge marque $2^{h}$ ; mais l’horloge du système Terre placée en $B$ marque $4^{h}$.

Arrivé en $B$, le boulet est renvoyé suivant $BA$ a avec la vitesse $-v$. Ici, il y a changement de système de référence. Paul quitte brusquement le système animé de la vitesse $+v$ par rapport à la Terre et passe dans le système de vitesse $-v$. Tout est à recommencer pour le voyage de retour. Imaginons qu’automatiquement l’horloge du boulet et celle de $B$ soient remises au zéro, et que les autres horloges liées à la Terre se trouvent synchronisées avec celle de $B$. Nous pouvons recommencer le raisonnement précédent : au bout d’une heure de voyage, marquée par l’horloge de Paul, celui-ci constatera en repassant en $M$ que son horloge marque $1^{h}$, alors que l’horloge liée à la Terre marque $2^{h}$ ... etc.

Mais à quoi bon supposer que les horloges ont été remises au zéro ? il était inutile d’y toucher. Nous savons qu’il y a un décalage initial dont il faut tenir compte ; ce décalage est de $2^{h}$ pour l’horloge, du boulet et de $4^{h}$ pour les a horloges du système Terre ; ce sont des constantes