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deuxième partie. — la relativité généralisée.

On peut enfin, comme l’a fait Eddington^[1], généraliser ce théorème. À tout invariant d’Univers on peut faire correspondre un tenseur mixte du second ordre dont la divergence soit nulle.

Le tenseur $\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R}$ est celui qui correspond au plus simple de tous les invariants d’Univers, l’invariant $\mathrm {R}$ qui par sa signification physique (courbure totale) présente un intérêt particulier.

77. Conditions d’application du principe d’équivalence.

La différence entre un Univers où règne un champ de gravitation permanent et un Espace-Temps euclidien est que dans le premier $\mathrm {R} _{\mu \nu }=0,$ alors que dans le second on a les conditions beaucoup plus restreintes $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }=0.$ Or ces deux groupes d’équations déterminent les dérivées secondes des $g_{\mu \nu }$ en fonction des $g_{\mu \nu }$ et de leurs dérivées premières ; nous pouvons donc toujours trouver, en tout point-événement du champ de gravitation, un Univers euclidien caractérisé par des fonctions $g_{\mu \nu }$ ayant, en ce point, des valeurs respectivement égales aux $g_{\mu \nu }$ de l’Univers réel, et telles que les dérivées premières ${\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }}}$ soient aussi, au même point, respectivement égales aux dérivées premières des $g_{\mu \nu }$ de l’Univers réel. C’est seulement à partir des dérivées secondes que les deux Univers diffèreront.

C’est l’Univers euclidien ainsi défini qui est l’Univers tangent à l’Univers réel au point-événement considéré. Ces deux Univers admettent un contact du premier ordre en ce point.

Le principe d’équivalence (n^o 55) n’est autre chose que l’affirmation de l’existence d’un Univers tangent en tout point de l’Univers réel. De ce principe, il résulte que toutes les lois relatives à des phénomènes se passant dans un Univers euclidien et qui ne dépendent que des $g_{\mu \nu }$ et de leurs dérivées premières^[2]

1. Espace, Temps et Gravitation, partie théorique, n^o 45.
2. Pour l’application de ce principe, il importe de remarquer qu’il peut se présenter des cas où des lois, établies dans l’Univers euclidien, paraissent ne pas contenir de dérivées secondes parce que celles-ci ont disparu dans l’Univers euclidien et, pour le système de coordonnées employé ; il serait nécessaire, dans ce cas, de rétablir la forme tensorielle dans les équations générales.