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RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE

dans un Univers non euclidien par application du principe d’équivalence, sont

(14-10)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {F} _{\mu \nu }&={\frac {\partial \varphi _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {\partial \varphi _{\nu }}{\partial x_{\mu }}}\\\mathrm {F} _{\nu }^{\mu \nu }&=\mathrm {J} ^{\mu }.\end{aligned}}\right.$

2^o LOI DE LA CONSERVATION DE L’ÉLECTRICITÉ. — La dernière de ces équations s’écrit d’après (11-33), $\mathrm {F} ^{\mu \nu }$ étant symétrique gauche.

${\mathfrak {F}}_{\nu }^{\mu \nu }={\frac {\partial {\mathfrak {F}}^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}={\mathfrak {J}}^{\mu }$

d’où l’on tire

${\frac {\partial {\mathfrak {J}}^{\mu }}{\partial x_{\mu }}}={\frac {\partial ^{2}{\mathfrak {F}}^{\mu \nu }}{\partial x_{\mu }\partial x_{\nu }}}=0$

car ${\mathfrak {F}}^{\mu \nu }$ étant symétrique gauche, ${\frac {\partial ^{2}{\mathfrak {F}}^{\mu \nu }}{\partial x_{\mu }\partial x_{\nu }}}=0.$ On a donc $\mathrm {J} _{\mu }^{\mu }=0$ (d’après 11-29). En coordonnées galiléennes, cette équation devient

(14-11)

${\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial t}}=0$

semblable à l’équation de continuité de l’hydrodynamique, elle exprime la conservation de l’électricité.

3^o LE TENSEUR D’ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE ET LA LOI GÉNÉRALE DE CONSERVATION DE L’IMPULSION-ÉNERGIE. — Par application et généralisation tensorielle des expressions qui donnent les composantes de la force mécanique s’exerçant sur l’unité de volume contenant charges et courants, ainsi que le travail accompli par le courant dans l’unité de temps, on démontre