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RELATIVITÉ RESTREINTE

duisent, toujours dans le système $\mathrm {S}$ lié à $\mathrm {M_{1}}$, les événements $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$. Aux époques $t$ et $t+dt$, le second mobile $\mathrm {M_{2}}$ est repéré $x$, $y$, $z$, $t$ ; $x+dx$, $y+dy$, $z+dz$, $t+dt$ dans le système $\mathrm {S}$ ; ces coordonnées déterminent, sur la ligne d’Univers de $\mathrm {M_{2}}$, deux événements infiniment voisins dont l’intervalle est $ds$ ; on a

$ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+c^{2}dt^{2}$

mais on a aussi

$ds=c\,dt,$

par conséquent

(8-1)

$ds=\alpha c\,dt,\quad$ ou $\quad dt=\alpha \,dt\quad \left(\alpha ={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right).$

Les mobiles $\mathrm {M_{1}}$ et $\mathrm {M_{2}}$ étant en coïncidence absolue aux événements $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$, nous obtenons, par intégration,

(8-2)

$\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{dt}=\int _{t_{\mathrm {A} }}^{t_{\mathrm {B} }}{\alpha \,dt}.$

Plus le mouvement de $\mathrm {M_{2}}$ aura été accéléré, plus, par conséquent, les vitesses par rapport à $\mathrm {M_{1}}$ seront grandes puisque la durée totale $t_{\mathrm {B} }-t_{\mathrm {A} }$ est fixe, et plus le temps propre total sera court.

En d’autres termes, entre deux événements déterminés, la plus longue ligne d’Univers est celle qui correspond au mouvement rectiligne et uniforme.

Note 9 (p. 59).

La loi d’inertie.

Une fonction a une variation nulle lorsqu’elle passe par un