velles valeurs correspondant aux nouvelles coordonnées et Les propriétés des géodésiques sont exprimées sous une forme indépendante du système de coordonnées ; il devait bien en être ainsi car la propriété de longueur minimum qui les caractérise est absolue ; elle est évidemment indépendante du fait qu’il plaît au géomètre d’adopter telle ou telle décomposition de la surface en mailles à deux dimensions.
On peut aller plus loin et caractériser l’individualité de la surface en chaque point ; il existe, en effet, un élément qui s’exprime au moyen des et de ce qu’on nomme en mathématiques leurs dérivés premières et secondes. Cet élément est invariant, c’est-à-dire a une valeur numérique indépendante du système de référence employé ; c’est la courbure totale :
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et étant deux rayons de courbure qu’on appelle les rayons de courbure principaux.
Pour un plan, et sont infinis et la courbure totale est nulle en tout point. Pour un cylindre, l’un des deux rayons de courbure est infini (à cause des génératrices rectilignes) et l’on a encore
Si l’on suppose constant et négatif on a les lois de la géométrie de Lobatschevski.
Si est constant et positif, on a la géométrie de Riemann, applicable à la surface d’une sphère.
Extension de la théorie de Gauss. — Dans l’Univers réel, nous ne pouvons plus employer des coordonnées galiléennes ; puisque nous ne pouvons plus défi-
