Volterra, Hadamard[1] et Paul Lévy ont fait l’étude d’une catégorie de fonctionnelles qui ont un rapport étroit avec les problèmes classiques de la physique mathématique. Hadamard a donné d’autre part une représentation générale d’une fonctionnelle linéaire sous forme de la limite d’une intégrale. Fréchet, en se plaçant à un point de vue plus général, a donné le développement, sous forme d’une série d’intégrales multiples, d’une fonctionnelle continue dont la variable ou argument est une fonction continue à une variable définie sur un intervalle fini. Ce résultat de Fréchet est exposé dans un article intitulé Sur les fonctionnelles continues paru dans les « Annales Scientifiques de l’École normale supérieure », 1910, pp. 193-216. J’ai étendu le résultat de Fréchet au cas où la fonction argument appartient à un ensemble E satisfaisant aux conditions suivantes :
1o Les fonctions de E sont holomorphes à un nombre quelconque n de variables.
2o Il existe un domaine D de l’espace à 2n dimensions comprenant l’origine, situé tout entier à distance finie et intérieur au sens étroit à un domaine D′, lui-même intérieur à toutes les étoiles d’holomorphie des fonctions de E.
3o Dans D les fonctions de E sont toutes bornées en module par un nombre fixe M.
L’essence de mon raisonnement, qui exigerait de nombreuses pages de développement, consiste à établir ceci :
On peut donner d’une fonction de E une approximation par un polynôme
telle que l’on ait
désignant un nombre arbitrairement petit, pourvu que p soit supérieur à un nombre fixe L ; et cela quels que soient le point de D et l’argument dans E.
- ↑ Hadamard. Leçons sur le calcul des variations. Paris, 1910, p. 281 et suivantes.
