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$x_{1}=\beta \left\{\left(1-\alpha \alpha _{0}\right)x_{2}+{\frac {\alpha }{\beta _{0}}}c\tau \right\}=x_{2}+{\frac {\beta }{\beta _{0}}}v\tau ,\qquad \qquad$(5)

en vertu de (3).

4. L’heure universelle de M. Guillaume. Soit $k$ une fonction quelconque de $v$. Comme $v$ est const., $k$ est constant. Supposons $k>0$ et posons $t=k\tau$. Si au lieu du temps d’Einstein $\tau$, on adopte le temps $t$, la simultanéité n’est pas troublée. L’égalité (4) reste vraie, donc pas de contraction, l’égalité (5) s’écrit $x_{1}=x_{2}+{\tfrac {1}{k}}{\tfrac {\beta }{\beta _{0}}}vt$. Supposons en particulier que $k={\tfrac {\beta }{\beta _{0}}}$, d’où $t={\frac {\beta }{\beta _{0}}}\tau$. L’équation (5) s’écrit

$x_{1}=x_{2}+vt\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$(6)

Multiplions la 2^me équation du second groupe (2) par $k={\tfrac {\beta }{\beta _{0}}}$, il vient, en vertu de (3),

$c\tau _{1}={\frac {c}{\beta }}t+{\frac {\beta -1}{\alpha \beta }}x_{1}.$

On tombe, comme on voit, sur l’équation qui définit le temps universel $t$ de M. Guillaume^[1]. Par conséquent le temps $t$ défini par $t={\tfrac {\beta }{\beta _{0}}}\tau$ est bien le paramètre de M. Guillaume. Il ne diffère du temps $\tau$ du système médian que par le facteur constant $k={\tfrac {\beta }{\beta _{0}}}$.

5. Cas de trois systèmes. Envisageons trois systèmes $S_{1},S_{2},S_{3}$ parallèles animés d’un mouvement de translation uniforme parallèlement aux axes des $x$. Soient $v_{12},v_{13},v_{23}$ les vitesse relatives de $S_{2}$ par rapport à $S_{1}$, de $S_{3}$ par rapport à $S_{1}$, de $S_{3}$ par rapport à $S_{2}$ et $t_{12},t_{13},t_{23}$ les paramètres de M. Guillaume. On aura alors en vertu de (6).

$x_{1}=x_{2}+v_{12}t_{12}\,;\quad x_{1}=x_{3}+v_{13}t_{13}\,;\quad x_{2}=x_{3}+v_{23}t_{23}\,;$

par exemple l’abscisse $x_{1}$ de $O_{2}$ est donnée par $x_{1}=v_{12}t_{12}$, celle de $O_{3}$ par $x_{1}=v_{13}t_{13}$. Les paramètres $t_{12},t_{13},t_{23}$ ne doivent pas être confondus entre eux.

1. Guillaume, Ed. La théorie de la relativité en fonction du temps universel, Arch. Sc. phys. et nat. (4), 46, p. 309.