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où $\alpha ={\tfrac {v}{c}}$, $\beta ^{2}={\tfrac {1}{1-\alpha ^{2}}}$, $v$ étant la vitesse de $S_{2}$ par rapport à $S_{1}$.

Envisageons maintenant un 3^me système S parallèle à $S_{1}$ et $S_{2}$ et animé également d’un mouvement de translation le long de $o_{1}x_{1}$. Soit $v_{0}$ sa vitesse par rapport à $S_{1}$. La transformation de Lorentz s’applique encore et l’on a

${\begin{alignedat}{2}x_{1}&=\beta _{0}(x\ +\alpha _{0}c\tau ),\qquad &x&=\beta _{0}(x_{1}\ -\alpha _{0}c\tau _{1}),\\c\tau _{1}&=\beta _{0}(c\tau +\alpha _{0}x),&c\tau &=\beta _{0}(c\tau _{1}-\alpha _{0}x_{1}).\end{alignedat}}\qquad \qquad$(2)

où $x$ et $\tau$ sont l’abscisse et le temps correspondants dans $S$, $\alpha _{0}={\tfrac {v_{0}}{c}}$, etc.

Supposons que la vitesse de $S_{2}$ par rapport à $S$ soit aussi égale à $v_{0}$. Je dirai que le système $S$ est le système médian correspondant. Comment s’expriment $v_{0},\alpha _{0},\beta _{0}$ en fonction de $v,\alpha ,\beta$? Pour le trouver il suffit d’exprimer $x_{1},\tau _{1}$ en fonctions des paramètres $x,\tau$ (form. (2)) et ces derniers en fonction de $x_{2},\tau _{2}$ et identifier les formules finales avec (1), ce qui donne

${\frac {2\alpha _{0}}{1+\alpha _{0}^{2}}}=\alpha ,\quad \alpha _{0}={\frac {\beta -1}{\alpha \beta }},\quad \beta _{0}^{2}={\frac {\beta +1}{2}},\quad \left(1-\alpha \alpha _{0}\right)\beta =1.\quad$(3)

2. Contraction. Envisageons deux points $P'$ et $P''$. Soient $x'_{1},x'_{2},x'$; $x''_{1},x''_{2},x''$ leurs coordonnées dans $S_{1}$, $S_{2}$ et $S$ au même moment $\tau$ (temps d’Einstein du système médian). En vertu de (2)

$x'_{1}=\beta _{0}\left(x'+\alpha _{0}c\tau \right),\quad x''_{1}=\beta _{0}\left(x''+\alpha _{0}c\tau \right).$

Donc

$x''_{1}-x'_{1}=x''_{2}-x'_{2}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$(4)

Il n’y a donc pas de contraction, pourvu que $P'$ et $P''$ soient envisagés au même moment $\tau$.

La réciproque est vraie, en d’autres termes : Si la contraction n’a pas lieu en adoptant le temps $\tau$ d’un système d’Einstein, ce système est le système médian.

3. Autre relation. Soit $P$ un point d’abscisses $x_{1}$ et $x_{2}$ dans $S_{1}$ et $S_{2}$. On a, en remplaçant dans la 1^re formule (1) le paramètre $\tau _{2}$ par son expression en fonction de $x_{2}$ et $\tau$