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L’intégration générale de cette équation n’est pas résolue à l’heure actuelle ; mais on peut, dans quelques cas spéciaux, trouver les rapports des constantes a et b caractéristiques de l’étincelle.

Admettons que la self et la résistance sont de valeurs moyennes, que

${\frac {4p}{r^{2}c}}>1$

c’est-à-dire que la décharge est oscillatoire et posons d’abord

$b=0$.

L’équation (4) prend alors la forme

(5)

$p{\frac {dq}{dt}}{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+r\left({\frac {dq}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {q}{c}}-a\right){\frac {dq}{dt}}=0$.

Par intégration et simplification, on a

(6)

$q=ac+\left(q_{0}-ac\right)e^{-{\frac {r}{2p}}t}\cos {\frac {t}{\sqrt {pc}}}$.

La décharge est oscillante et son temps d’oscillation est

$\tau =2\pi {\sqrt {pc}}$

qui est par conséquent le même que dans les oscillations d’un circuit sans étincelle. Cela nous permet de calculer les amplitudes et nous obtenons :

I amp. $q_{0}$

(7)

II amp. $q_{1}=q_{0}e^{-{\frac {r\tau }{4p}}}-ac\left(1+e^{-{\frac {r\tau }{4p}}}\right)$.

III amp. $q_{2}=q_{1}e^{-{\frac {r\tau }{4p}}}-ac\left(1+e^{-{\frac {r\tau }{4p}}}\right)$.

etc…

Dans le cas $r=0$ c’est-à-dire s’il n’y a aucune résistance dans