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des théorèmes mécaniques

segment supplémentaire est à la hauteur du segment plus deux fois la hauteur du segment supplémentaire.

Ce théorème se démontre de la même manière que le précédent^[1].

(Théorème X)^[2].

[Tout segment d’hyperboloïde de révolu-

1. Dont il n’est que la généralisation. Dans les traités de Mécanique modernes, la position du centre de gravité du segment sphérique est ordinairement déterminée par sa distance au centre de la sphère, à l’aide de l’intégration. On trouve l’expression D = 3/4 (2 R − h)²/(3 R − h). Il est facile de voir l’équivalence des deux expressions. Le théorème d’Archimède peut s’écrire :
   ΑΧ/h − ΑΧ = h + 4 (2 R − h)/h + 2 (2 R − h) = 8 R − 3 h/4 R − h ,

   d’où, en additionnant chaque dénominateur au numérateur :

   h/h − ΑΧ = 12 R − 4 h/4 R − h ; h (4 R − h) = (12 R − 4 h) h − ΑΧ (12 R − 4 h)

   et

   ΑΧ = h (12 R − 4 h) − h (4 R − h)/12 R − 4 h = h (8 R − 3 h)/12 R − 4 h ;

   donc la distance ΧΣ (c’est-à-dire D) = R − h (8 R − 3 h)/12 R − 4 h = 12 R² − 4 hR − 8 hR + 3 h²/12 R − 4 h = 12 R² − 12 hR + 3 h²/12 R − 4 h = 3 (4 R² − 4 hR + h²)/4 (3 R − h) = 3 (2 R − h)²/4 (3 R − h). C. q. f. d.

2. Énoncé restitué d’après Conoïdes et Sphéroïdes, prop. 25 (I, 416, Heiberg) : le sens général résulte des mots τῆς προκειμένης πρὸς τὸν ἄξονα, où l’on reconnaît la ligne appelée