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De plus, $c'$ est donné par l’équation intégrale

$c'=c^{2}r^{2}+c^{2}\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} \omega }}\right)^{2}-2\int {\frac {R\operatorname {d} z}{z^{2}}},$

laquelle, à cause de

$z={\frac {1}{r}},\quad {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} \omega }}=-{\frac {1}{r^{2}}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} \omega }}=-{\frac {\operatorname {d} }{a}}c{\operatorname {d} t},\quad \int {\frac {R\operatorname {d} z}{z^{2}}}=-\int R\operatorname {d} r,$

devient

$c'=c^{2}r^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}+2\int R\operatorname {d} r,$

qui est vraie pour toutes les valeurs de $t,$ et qui subsiste, par conséquent, à l’extrémité du rayon $r_{0}.$ Faisant donc $r=r_{0}$, et mettant pour $c$ sa valeur, il vient

$c'=v_{0}^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\theta +v_{0}^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\theta +2\int _{0}R\operatorname {d} r,$

ou, plus simplement,

$c'=v_{0}^{2}+2\int _{0}R\operatorname {d} r.$

Ainsi, voilà $c$ et $c'$ exprimés en $v_{0},r_{0}$ et $\theta .$ Il est inutile d’avertir que la notation $\int _{0}R\operatorname {d} r$ exprime l’intégrale $\int R\operatorname {d} r$ dans laquelle on a fait $r=r_{0}.$

v. Tout cela a lieu quelque soit $R.$ Quand $R={\frac {\mu }{r}}=\mu z^{n},$ on a

$\int R\operatorname {d} r=-\int R{\frac {\operatorname {d} z}{z^{2}}}=-{\frac {\mu z^{n-1}}{n-1}}=-{\frac {\mu }{(n-1)r^{n-1}}}\,;$

ainsi

(3)$\qquad \operatorname {d} \omega ={\frac {-c\operatorname {d} z}{\sqrt {{\frac {2\mu z^{n-1}}{n-1}}-c^{2}z^{2}+c'}}}\,;$

équation où