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$\operatorname {d} \omega ={\frac {-c\operatorname {d} z}{\sqrt {2\int {\frac {R\operatorname {d} z}{z^{2}}}-c^{2}z^{2}+c'}}}\,;$

et il suffit d’intégrer de nouveau les deux membres pour avoir $\omega ,$

iv. Les quantités $c,c'$ dépendent des conditions du mouvement initial, ou plutôt des conditions du mouvement à une époque donnée quelconque, prise pour origine des temps. Ainsi nous admettons que $v_{0}$ est la vîtesse qui répond à une position déterminée de $\mathrm {M} ,$ pour laquelle on suppose à $r$ la valeur particulière $r_{0},$ et nous représentons par $\theta$ l’angle que fait la direction de la vîtesse $v_{0}$ avec ce dernier rayon vecteur. $v_{0},r_{0}$ et $\theta$ étant connus, on en déduit $c,c'$. En effet, on peut décomposer la vîtesse $v_{0}$ dans les deux vîtesses partielles $v_{0}\operatorname {d} t\operatorname {Sin} .\theta ,v_{0}\operatorname {d} t\operatorname {Cos} .\theta$ dont la seconde est dans le sens du rayon vecteur, tandis que l’autre lui est perpendiculaire. Donc $v_{0}\operatorname {d} t\operatorname {Sin} .\theta ,v_{0}\operatorname {d} t\operatorname {Cos} .\theta$ sont les espaces infiniment petits que le mobile, dans l’instant $\operatorname {d} t,$ parcourt suivant ces deux directions ; et comme ces espaces sont aussi exprimés respectivement par $r_{0}\operatorname {d} \omega _{0}$ et $\operatorname {d} r_{0},$ on en conclut

${\begin{alignedat}{1}r_{0}\operatorname {d} \omega _{0}&=v_{0}\operatorname {d} t\operatorname {Sin} .\theta ,\\\operatorname {d} r_{0}&=v_{0}\operatorname {d} t\operatorname {Cos} .\theta .\end{alignedat}}$

Il est facile de comprendre qu’on met $r_{0},\operatorname {d} \omega _{0},\operatorname {d} r_{0}$ parce que ces quantités se rapportent à une position particulière du point $\mathrm {M,}$ et qu’on laisse pourtant $\operatorname {d} t,$ au lieu de mettre $\operatorname {d} t_{0},$ parce que $t$ étant la variable indépendante, sa différentielle est constante, d’où. $\operatorname {d} t=\operatorname {d} t_{0}.$

En combinant avec l’équation (1) la première des deux égalités qu’on vient d’écrire, on a cette valeur de $c$

$c=v_{0}r_{0}\operatorname {Sin} .\theta$