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${\sqrt {p(p-x-y)(p-x+y)(2x-p)}}=s^{2},$

ou bien

${\sqrt {p\left[(p-x)^{2}-y^{2}\right](2x-p)}}=s^{2}\,;\qquad$(A)

d’où nous tirerons

$y=\pm {\sqrt {(p-x)^{2}-{\frac {s^{4}}{p(2x-p)}}}}.$

La quantité écrite sous le radical devant être positive ou au moins nulle pour que $y$ soit réel, nous en conclurons aisément, pour le maximum de $s^{4}$,

$s^{4}=p(p-x)^{2}(2x-p)\,;\qquad$(B)

d’où il suit que $y$ doit être égal à zéro ; ce que nous aurions pu d’ailleurs déduire de l’équation (A) sans être obligés de la résoudre, d’après la manière dont $y^{2}$ entre dans la valeur de $s^{2}.$ Nous voyons donc déjà que le triangle doit être isocèle. Regardons présentement $p-x$ comme inconnue. L’équation (B) peut se mettre sous la forme

$s^{4}=p(p-x)^{2}[p-2(p-x)],$

ou sous celle-ci

$(p-x)^{3}{\frac {p}{2}}(p-x)^{2}+{\frac {s^{4}}{2p}}=0.$

La condition générale de réalité obtenue pour deux racines de l’équation trinôme considérée au commencement de ce mémoire devient, dans le cas actuel,

${\frac {s^{4}}{2p}}\leqq {\frac {4}{27}}.{\frac {p^{3}}{8}}.$