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Lorsque l’on connaît la courbe parcourue par le point $M,$ et l’équation de cette courbe ${\frac {1}{r}}=\varphi (\omega ),$ il est facile de trouver $R$ et d’arriver à la loi que suit l’attraction quand la distance du point $\mathrm {M}$ au centre augmente ou diminue. C’est ainsi qu’on démontre, en s’appuyant sur une des lois de Képler, que l’attraction universelle décroît en raison inverse duquarré de la distance. Nous ne reviendrons pas sur ce sujet dont nous avons traité d’une manière suffisamment étendue dans l’article cité. Nous considérerons présentement la question inverse. Ici $R$ est une fonction donnée de $r$ et l’on veut connaître la dépendance réciproque des quantités $r,\omega ,t,$ c’est-à-dire, avec la nature de la courbe décrite, la loi continuelle de la vîtesse et le lieu du point $\mathrm {M} ,$ pour un temps $t$ pris à volonté. Nous ferons plus tard l’hypothèse particulière $R={\frac {\mu }{r^{n}}}$ ; mais, dans les premiers calculs, on peut laisser $R$ quelconque.

iii. D’abord en faisant $r={\frac {1}{z}},$ l’équation (2) devient

$R=c^{2}z^{2}\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} \omega ^{2}}}\right),$

ou bien

${\frac {R}{z^{2}}}-c^{2}z=c^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} \omega ^{2}}}.$

Multipliant par $2\operatorname {d} z$ et intégrant, en observant que $2\operatorname {d} z{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} \omega ^{2}}}=\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} \omega }}\right)^{2},$ on obtient

$2\int {\frac {R\operatorname {d} z}{z^{2}}}-c^{2}z^{2}=c^{2}\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} \omega }}\right)^{2}\,;$

$c'$ étant la constante arbitraire. Cette équation donne, à son tour,