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$y=a,\qquad x=a,\qquad m=3a\,;$

ainsi le nombre $3a^{2}$ doit être divisé en trois parties égales pour que la somme des racines quarrées de ses parties soit un maximum, lequel est égal à $3a.$

12. Il serait facile de généraliser l’exposition de cette méthode, mais la discussion des surfaces étant plus difficile que celle des courbes, on conçoit que, pour trouver le maximum ou le minimum d’une fonction de deux variables indépendantes, l’emploi des considérations purement algébriques est souvent plus avantageux ; il est d’ailleurs évidemment nécessaire à l’égard des fonctions de plus de deux variables. Des principes très-simples d’algèbre vont nous fournir une seconde solution du précédent problème.

Résolvons l’équation (A) par rapport à $x$, comme si nous connaissions $y$ et $m$. Nous trouverons

$x={\frac {m-y}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-m^{2}+2ym-3y^{2}+6a^{2}}}\,;$

ou, en décomposant le polynome soumis au radical en deux facteurs du premier degré, par rapport à $m$,

$x={\frac {m-y}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(y-m+{\sqrt {6a^{2}-2y^{2}}}\right)\left(m-y+{\sqrt {6a^{2}-2y^{2}}}\right)}}.$

Le second facteur du produit qui est sous le radical est toujours positif, puisque $m$ est nécessairement plus grand que $y\,;$ donc, pour que la valeur de $x$ soit réelle, il est nécessaire et il suffit que nous ayons