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Si, dans (A), on change $x$ en $-x,$ la transformée

$x^{4}+px+q=0,$

n’aura pas de racines positives ; donc la proposée (A) ne peut admettre de racines négatives. De plus, l’équation (A) étant privée de second terme, la somme de ses racines est nulle. Il faut donc que (A) ait tout au moins deux racines imaginaires, et que celles-ci soient de la forme $-a+b{\sqrt {-1}},$$-a-b{\sqrt {-1}}.$ D’où il résulte que le premier membre de (A) doit être divisible par un facteur du second degré de la forme

$x^{2}+2ax+a^{2}+b^{2}.$

En effectuant la division, on trouve pour quotient

$x^{2}-2ax+3a^{2}-b^{2},$

et pour reste

$\left\{4a\left(b^{2}-a^{2}\right)-p\right\}x+\left\{q-3a^{4}+b^{2}\left(b^{2}-a^{2}\right)\right\}.$

Ce reste devant être nul, quelque valeur qu’on donne à $x$, on a

$4a\left(b^{2}-a^{2}\right)-p=0,$

$q-3a^{4}+b^{2}\left(b^{2}-a^{2}\right)=0,$

ou

$p=4a\left(b^{2}-a^{2}\right),\qquad q=3a^{4}-b^{2}\left(b^{2}-a^{2}\right)\,;$

et, pour obtenir les deux autres racines de (A), il faut poser

$x^{2}-2ax+3a^{2}-b^{2}=0.$