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9. La méthode suivie dans le numéro 7 peut être aisément généralisée^[1]. Quelle que soit la fonction proposée d’une variable $x$, on regardera cette fonction comme l’ordonnée $y$ d’une courbe. On cherchera les abscisses $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ des points de cette courbe pour lesquels la tangente est parallèle à l’axe des $x$. Chacune de ces abscisses $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ répondra généralement à un maximum ou à un minimum $y_{1},y_{2},y_{3},\ldots$ de l’ordonnée $y$, et, pour distinguer le maximum du minimum, on discutera la forme de la courbe, principalement dans le voisinage des points $(x_{1},y_{1}),\ (x_{2},y_{2}),\ (x_{3},y_{3}),\ldots$

Mais, si la fonction proposée est un peu compliquée, il sera souvent plus simple de considérer d’abord sa valeur comme une quantité connue $q$, ainsi que je l’ai fait précédemment, d’égaler ensuite à une ordonnée $y$ soit une partie soit un facteur de cette fonction, et enfin de chercher les conditions analitiques du contact des deux courbes dont on aura formé les équations.

10. On peut encore, dans un grand nombre de cas, déterminer des maximums ou des minimums en se renfermant dans des considérations purement algébriques. Soit demandé, par exemple, le maximum d’une fonction $q$ de la forme $px-x^{4},$ ce qui conduit à l’équation

$x^{4}-px+q=0\,;\qquad$(A)

voici comment en parviendra à la condition de réalité pour deux de ses racines, condition qui fournira le maximum de $q$.

1. Cette méthode n’est que la traduction géométrique du procédé que le calcul différentiel prescrit pour la recherche des maximums et des minimums. En effet, elle conduit immédiatement à égaler à zéro la dérivée de la fonction proposée, puisque cette fonction, étant l’ordonnée d’une courbe rapportée à deux axes rectangulaires, a pour dérivée la tangente tabulaire de l’angle que fait avec l’axe des $x$ une droite qui touche cette courbe.