Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1831-1832, Tome 22.djvu/52

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

pourra se changer en contact ; et, pour toute valeur de, plus petite que celle qui donne naissance à ce contact, les deux branches dont il s’agit ne se rencontrant plus, il n’existerait, entre les deux points lumineux, sur la ligne qui les joint, aucun point qui reçût de leur ensemble une si faible quantité de lumière. D’où il suit que, si les deux hyperboles se touchent, la projection de leur point de contact sur l’axe des $x$ est le point où la somme des intensités des deux lumières atteint son minimum.

En désignant par $X$ et $Y$ les coordonnées courantes, on trouvera facilement pour les équations des tangentes aux deux courbes (1) et (2), au point $(x,y)$,

$Y-y=-{\frac {2b}{x^{3}}}(X-x),\qquad Y-y=-{\frac {2c}{(a-x)^{3}}}(X-x).$

Si les deux courbes se touchent, les équations des tangentes qui leur sont menées par leur point de contact $(x,y)$ doivent être indentiques. Il faut donc que l’on ait

$-{\frac {2b}{x^{3}}}=-{\frac {2c}{(a-x)^{3}}}\,;$

ou bien

$\left({\frac {x}{a-x}}\right)^{3}={\frac {b}{c}}\,;$

d’où

${\sqrt {\frac {x}{a-x}}}={\sqrt {\frac {b}{c}}}\,;$

et, par suite,

$x={\frac {a{\sqrt[{3}]{b}}}{{\sqrt[{3}]{b}}+{\sqrt[{3}]{c}}}}.$

Cette valeur est celle de l’abscisse cherchée ; et, pour le mini-