Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1831-1832, Tome 22.djvu/47

pair, est de même forme que celle qui vient d’ê*re examinée.^[1]

Tout se réduit donc, pour obienir le maximum de la fonction $q,$ à exprimer les conditions analitiques du contact des courbes (1) et (2). Les abscisses des points communs à ces deux courbes doivent évidemment satisfaire à l’équation (A). Pour que ces deux points se réunissent en un seul, il suffira que leurs abscisses soient égales, puisque, dans chacune des deux courbes, à une abscisse correspond une seule ordonnée. Ainsi il faut que l’équation (A) ait deux racines égales. D’après les principes connus, sa dérivée

$mx^{m-1}-npx^{n-1}=0,$

devra avoir pour plus grand commun diviseur commun avec elle le facteur du premier degré

$x-{\sqrt[{m-n}]{{\frac {n}{m}}p}}.$

Remplaçant donc $x$ dans (A) par sa valeur ${\sqrt[{m-n}]{{\frac {n}{m}}p}},$ on trouvera

$q=\left\{{\sqrt[{m-n}]{\left({\frac {n}{m}}\right)^{n}}}-{\sqrt[{m-n}]{\left({\frac {n}{m}}\right)^{m}}}\right\}{\sqrt[{m-n}]{p^{m}}}.$

Tel est le maximum de la fonction $q$, et ${\sqrt[{m-n}]{{\frac {n}{m}}p}}$ est la valeur correspondante de la variable $x$^[2].

1. Ces considérations géométriques se simplifieraient si l’on se bornait aux deux cas de $n=1$ et de $n=m-1,$ ce qui suffirait pour la plupart des applications proposées ci-après. Si $n=1,$ la courbe (2) se réduit à une ligne droite de direction constante et dont l’ordonnée à l’origine varie avec $q$, et l’on fera rentrer le cas de $n=m-1$ dans celui de $n=1,$ en posant $x={\frac {1}{z}}.$
2. Je n’ai point à discuter ici les équations trinômes de la forme $x^{m}\pm$