connus, situés sur un plan, à deux axes rectangulaires tracés sur ce même plan ; les équations (1) et (2) caractériseront respectivement deux paraboles des degrés et et les points d’intersection de ces deux courbes auront pour abscisses les valeurs de qui satisfont à l’équation (A). Il faudrait donc, pour trouver, par une approximation graphique, les racines réelles de l’équation (A), construire les courbes (1) et (2) ; mais, pour atteindre notre but, il nous suffit d’avoir une idée de la forme et de la position de chacune d’elles. D’abord nous pouvons supposer les nombres et premiers entre eux, car, s’ils avaient un facteur commun, l’équation (A) serait susceptible d’abaissement, et à l’équation proposée nous substituerions une transformée où serait premier avec . Examinons les trois cas qui peuvent s’offrir.
Premier cas : pair et impair.
La courbe (1) est alors une parabole symétrique par rapport à l’axe des , et située tout entière au-dessus de l’axe des , comme la parabole quarrée La courbe (2) a une forme analogue à celle de la parabole cubique ; mais le point d’inflexion de la parabole (2), au lieu de se confondre avec l’origine, est situé sur l’axe des , au-dessus de l’axe des , et à une distance de ce dernier axe. Toutes les fois qu’on donnera cette courbe sera facile à construire. On voit aisément, sans avoir besoin de tracer une figure, que les portions des deux courbes qui s’élèvent dans l’angle des coordonnées positives pourront se couper en deux points ou se toucher en un seul ou enfin ne pas se rencontre. La courbe (1) est constante de figure et de situation ; la figure de la courbe (2) ne dépend que de la quantité connue mais son point d’inflexion s’abaissera, et par conséquent sa situation changera à mesure qu’on fera croître . Si, pour une valeur attribuée à , les deux courbes ont deux points communs, on rapprochera ces deux points l’un de l’autre, en augmentant la valeur de . Pour une certaine valeur de ils coïn-
