Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1831-1832, Tome 22.djvu/38

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\left.{\begin{alignedat}{2}R&={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}\right)}},&R&=-{\frac {\operatorname {d} rxy}{\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}\right)}},\\\\R&={\frac {\operatorname {d} s^{3}\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y^{2}.\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y}}\right)}},&R&=-{\frac {\operatorname {d} s^{3}\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x^{2}.\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}\right)}},\\\\R&={\frac {\operatorname {d} s^{2}\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y^{2}.\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} y}}\right)}},&\qquad R&=-{\frac {\operatorname {d} s^{2}\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x^{2}.\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)}}.\end{alignedat}}\right\}\quad$(4)

Pour avoir les expressions au rayon de courbure relatives aux coordonnées polaires, soit $\mathrm {O}$ (fig. 6) un point pris arbitrairement sur le plan de la courbe $\mathrm {AB}$ ; soit $\mathrm {PQ}$ une droite fixe menée arbitrairement par le point $\mathrm {O.}$ Un quelconque $n$ des points de la courbe sera déterminé par l’angle $\mathrm {QO} n$ et par la distance $\mathrm {O} n$ du point $\mathrm {O}$ au point $n.$ L’angle $\mathrm {QO} n$ et la longueur $\mathrm {O} n$ sont les coordonnées polaires du point $n.$ Les points $n,n'$ étant supposés les analogues de ceux de même dénomination de la figure 5 ; si l’on mène à la courbe des tangentes par ces deux points ; que l’on désigne par $\varphi$ l’angle que fait la tangente au point $n$ avec le rayon vecteur $\mathrm {O} n,$ et par $\varphi '$ l’angle que fait la tangente au point $n$ avec le rayon vecteur consécutif $\mathrm {O} n',$ on aura, par les principes du calcul différentiel, $\varphi '=\varphi +\operatorname {d} \varphi .$ Soit de plus $\operatorname {Ang} .\mathrm {QO} n=\omega \,;$ on aura, en désignant par $\mathrm {D,}$ le point de concours de $\mathrm {C} n$ et $\mathrm {O} n',$

$\operatorname {Ang} .\mathrm {ODC=D} n'\mathrm {C+DC} n'=90^{\circ }-\varphi -\operatorname {d} \varphi +\mathrm {DC} n',$

$\operatorname {Ang} .\mathrm {ODC=O} n\mathrm {D} +n\mathrm {OD} =90^{\circ }-\varphi +\operatorname {d} \omega \,;$

d’où

$90^{\circ }-\varphi -\operatorname {d} \varphi +\mathrm {DC} n'=90^{\circ }-\varphi +\operatorname {d} \omega ,$

et, par conséquent,