Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1831-1832, Tome 22.djvu/33

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

où le maximum $r=k$ a lieu effectivement pour $\omega =0.$ D’ailleurs $r$ ne devient nul que pour des valeurs de $\omega$ infiniment grandes, et de plus, reste le même quand on change simplement le signe de $\omega .$ On voit ainsi que la courbe est composée de deux branches égales symétriquement disposées par rapport à l’axe $\mathrm {OD}$, et qu’elle fait une infinité de circonvolutions autour du centre d’attraction, de sorte que les nœuds se trouvent tous sur l’axe $\mathrm {OD.}$

Le temps employé à parcourir l’arc compris entre les rayons vecteurs $r_{1},r_{2}$ se déduit de la formule générale du n.^o xii. Il suffit d’y changer $c'$ en $-c',$ pour nous conformer à l’hypothèse actuelle. On a, par conséquent,

$t={\frac {{\sqrt {\mu -c^{2}+c'r_{2}^{2}}}-{\sqrt {\mu -c^{2}+c'r_{1}^{2}}}}{c'}}.$

Si l’on veut compter les temps à partir du point $\mathrm {D}$ où $r_{1}=k={\sqrt {\frac {\mu -c^{2}}{c'}}},$ on aura simplement

$t={\frac {\sqrt {\mu -c^{2}+c'r_{2}^{2}}}{c'}}.$

En faisant, dans cette formule, $r_{2}=0$ on aura le temps ${\frac {T}{2}}$ de la demi-révolution. Donc $T={\frac {2{\sqrt {\mu -c^{2}}}}{c'}}={\frac {2k^{2}}{cp}}$ est la formule qui donne le temps de la révolution entière. On en déduit la valeur de $c={\frac {2k^{2}}{pT}}\,;$ mais on a aussi $c={\frac {2A}{T}},$ comme on l’a vu ailleurs, $A$ étant toute l’aire décrite en y comprenant les portions qui sont parcourues plusieurs fois. Ainsi ${\frac {2k^{2}}{pT}}={\frac {2A}{T}},$ d’où $A={\frac {k^{2}}{p}},$ ce qui fournit une expression très-simple de $A.$

xvii. Au lieu d’examiner cinq cas distincts, comme nous ve-