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parallèle $\mathrm {GH}$ à $\mathrm {OB,}$ à la distance $\mathrm {OG} ={\frac {k}{p}}$ est l’asymptote de la courbe. En effet, si l’on prend un point $\mathrm {M}$ sur cette courbe, et qu’on mène la normale $\mathrm {MP}$ à $\mathrm {OG,}$ le pied, de la normale s’approchera indéfiniment du point $\mathrm {G}$ qui en est la limite et pour lequel $\mathrm {MP}$ et $r$ deviennent infinis. En effet,

$\mathrm {OP} =r\operatorname {Sin} .\omega ={\frac {2k\operatorname {Sin} .\omega }{e^{p\omega }-e^{-p\omega }}}\,;$

or, en développant en séries les sinus et les exponentiels, et prenant $\omega$ très-petit, la valeur de $\mathrm {OP}$ se réduit à

$\mathrm {OP} ={\frac {k\left(1+{\frac {\omega ^{2}}{6}}\right)}{p\left(1+{\frac {p^{2}\omega ^{2}}{6}}\right)}}.$

Or, cette valeur est inférieure à ${\frac {k}{p}}\,;$ mais elle s’en approche indéfiniment à mesure que $\omega$ tend vers zéro ; de sorte que, quand $\omega$ est rigoureusement nul, $\mathrm {OP}$ ne diffère plus de $\mathrm {OG.}$

Ainsi la droite $\mathrm {GH}$ est bien une asymptote de la courbe, et dans ce cas, comme dans le premier, il est curieux de comparer les trajectoires qui diffèrent par la valeur de $\mu ,$ mais dont l’asymptote est la même. On posera pour cela ${\frac {k}{p}}$ égale à une constante $b,$ d’où $k=bp,$ et l’on aura la valeur suivante de r

$r={\frac {2bp}{e^{p\omega }-e^{-p\omega }}}={\frac {b}{\omega \left(1+{\frac {p^{2}\omega ^{2}}{6}}+\ldots \right)}}\,;$

ce qui redonne l’équation $r={\frac {b}{\omega }}$ de la spirale hyperbolique quand