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un foyer. Nous venons de prouver que la courbe est une section conique. Si les planètes décrivent des ellipses, c’est que la condition $v_{0}^{2}<{\frac {2\mu }{r_{0}}}$ est satisfaite pour elles. Mais rien ne prouve qu’il n’y ait pas des comètes décrivant des paraboles ou des hyperboles.

Reste à prouver que

3.^o Les quarrés des temps des révolutions des planètes autour du soleil sont comme les cubes des grands axes de leurs orbites.

Pour cela nommons $T$ le temps employé à faire une révolution complète, et $A$ l’aire totale de l’ellipse. L’aire parcourue dans le temps $\operatorname {d} t$ sera donc ${\frac {A\operatorname {d} t}{T}}\,;$ et, comme on l’a représentée ailleurs par ${\frac {c\operatorname {d} t}{2}},$ il résulte de ce rapprochement $c={\frac {2A}{T}}.$ Pour calculer $A,$ il faul connaître les demi-axes $a$ et $b$ de l’ellipse. Il faut donc recourir à l’équation

$r={\frac {c^{2}}{\mu }}-x{\sqrt {1+{\frac {c^{2}c'}{\mu ^{2}}}}},$

où $c'$ est négatif à cause de $c'=v_{0}^{2}-{\frac {2\mu }{r_{0}}}$ et de la condition $v_{0}^{2}<{\frac {2\mu }{r_{0}}}$ nécessaire dans l’ellipse. Mais on sait, d’autre part, que le rayon vecteur, en fonction de l’abscisse $x'$ ou $x+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},$ comptée du centre, est

$r=a-{\frac {x'{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{a}}\,;$

donc

$r=a-{\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}-{\frac {x{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{a}},$

ce qui revient à