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$r={\frac {c}{{\frac {\mu }{c}}+{\frac {x}{r}}{\sqrt {c'+{\frac {\mu }{c^{2}}}}}}}.$

De là résulte

$r={\frac {c^{2}}{\mu }}-x{\sqrt {1+{\frac {c^{2}c'}{\mu ^{2}}}}}\,;$

d’où l’on voit nettement, puisque le second membre est une fonction rationnelle de l’abscisse, que le point $\mathrm {O}$ est un foyer de la courbe. À présent, comme $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$ il vient

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {c^{2}}{\mu }}-x{\sqrt {1+{\frac {c^{2}c'}{\mu ^{2}}}}}.$

Faisant disparaîfre le premier radical par l’élévation des deux membres au quarré, ou donnera à l’équation la forme suivante :

$My^{2}+Nx^{2}+Px=Q\,;$

elle deviendra, en effet,

$\mu ^{2}y^{2}-c^{2}c'x^{2}+2c^{2}{\sqrt {\mu ^{2}+c^{2}c'}}.x=c^{4}\,;$

de sorte qu’on aura

$M=\mu ^{2},\quad N=-c^{2}c',\quad P=2c^{2}{\sqrt {\mu ^{2}+c^{2}c'}},\quad Q=c^{4}\,;$

et la section conique sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que le coefficient $N$ sera positif, nul ou négatif. Or, comme ce coefficient dépend de $c'$, il faut se rappeler qu’on a, par les équations (4),

$c^{2}=v_{0}^{2}r_{0}^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\theta ,\qquad c'=v_{0}^{2}-{\frac {2\mu }{r_{0}}},$

à cause de $n=2.$ Donc