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${\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} \alpha ^{2}}}={\frac {1}{2}}a\left\{b\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )-c\operatorname {Sin} .\alpha \right\},$

${\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} \beta ^{2}}}={\frac {1}{2}}b\left\{a\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )-c\operatorname {Sin} .\beta \right\},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} \alpha \operatorname {d} \beta }}={\frac {1}{2}}ab\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )\,;$

ce qui donne

$\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} \alpha \operatorname {d} \beta }}\right)^{2}-{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} \alpha ^{2}}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} \beta ^{2}}}=$

${\frac {1}{4}}abc\left\{(a\operatorname {Sin} .\alpha +b\operatorname {Sin} .\beta )\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )-c\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \right\}.$ (4)

En conséquence les conditions communes au maximum et au minimum seront

$c\operatorname {Cos} .\alpha =b\operatorname {Cos} .(\alpha +\beta ),\qquad c\operatorname {Cos} .\beta =a\operatorname {Cos} .(\alpha +\beta )\,;\qquad$(5)

on en conclut, sur-le-champ,

$a\operatorname {Cos} .\alpha =b\operatorname {Cos} .\beta \,;\qquad$(6)

ce qui veut dire qu’il faut que les projections des deux côtés extrêmes, sur la direction du côté intermédiaire, soient de même longueur, mais tournées en sens inverse ; cela exige que les angles $\alpha ,\beta$ soient tous deux obtus ou tous deux aigus.

Posons $\alpha +\beta =x,$ il en résultera

$\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta =\operatorname {Cos} .x,$

ou bien

$\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .x=\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \,;$

d’où, en quarrant et en remplaçant ensuite les sinus par des fonctions équivalentes des cosinus,

$2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .x-\operatorname {Cos} ^{2}ax-.\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta +1=0\,;$

mais, dans le cas actuel, les équations (5) deviennent simplement