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telle est donc l’équation qui donnera les valeurs de $t$ qui répondent aux intersections de la droite (7) avec la courbe (4) ; valeurs qui, substituées dans l’équation (7), feront connaître les valeurs correspondantes de $u$ .

Or, l’équation (8) est d’abord satisfaite en posant $t=0,$ d’où résulte aussi $u=0\,;$ et c’est là ce qu’on pouvait fort bien prévoir à l’avance, puisque l’origine des $t$ et $u$ est, par construction, un point commun à la droite et à la courbe. L’équation (8), délivrée de cette racine, devient

0=\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}+{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}M\right)+\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}M+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}M^{2}\right)t+\ldots \ \mathrm {(9)}

et doit donner les valeurs de $t$ qui répondent aux intersections, autres que l’origine des $t$ et $u$ , de la droite (7) avec la courbe (4) ; intersections qui pourront être plus ou moins nombreuses, et dont la situation, sur cette courbe, variera avec $M,$ c’est-à-dire, avec la direction de la droite (7).

Si l’on veut profiter de l’indétermination de $M,$ pour faire en sorte qu’un nouveau point d’intersection vienne se confondre avec le premier, à l’origine des $t$ et $u$ , il faudra faire en sorte que l’équation (9) soit, comme l’équation (8), satisfaite en posant $t=0\,;$ ce qui exigera qu’on ait

{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}+{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}M=0\,;\qquad

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équation qui déterminera la valeur de $M$ qui satisfait à cette condition. Or, cette valeur, substituée dans l’équation (7), fait retomber de nouveau sur l’équation (6) de la tangente à l’origine des $t$ et $u$ ; donc la tangente à une courbe, en l’un de ses points, n’est autre chose que ce que deviendrait une corde qui, passant par ce point, tournerait sur lui, jusqu’à ce que sa longueur serait devenue tout à fait nulle ; d’où il suit qu’une tangente à une