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par quotient d’une demi-unité. Mais il ne paraît pas qu’il ait été remarqué jusqu’ici que cet excès n’est pas même d’un huitième d’unité ; et voici à peu près comment M. Lenthéric démontre cette proposition.

Soient $a$ et $b$ les deux nombres dont il s’agit, et soit $a>b.$ Par hypothèse, le nombre des chiffres de $a-b$ est moindre que la moitié du nombre des chiffres de $b\,;$ or, comme le quarré d’un nombre a au plus le double du nombre de ses chiffres, il s’ensuit que $(a-b)^{2}$ n’aura pas autant de chiffres que $b\,;$ de sorte qu’on aura

$(a-b)^{2}<b.\qquad$(1)

Cela posé, à cause de $b<a,$ on a ${\sqrt {b}}<{\sqrt {a}},$ d’où ${\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}>2{\sqrt {b}}\,;$ d’où, en quarrant, divisant par $4$ et renversant

$b<\left({\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{2}}\right)^{2}\,;\qquad$(2)

donc, en comparant (1) à (2),

$(a-b)^{2}<\left({\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{2}}\right)^{2},$

et par suite

$a-b<{\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{2}},$

ou encore

$\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)\left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)<{\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{2}},$

2ce qui donne, en simplifiant,

${\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}<{\frac {1}{2}},\qquad$(3)

puis en quarrant