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La formule (5) peut encore être écrite ainsi

$\int \left\{(x+a)(x+b)\right\}^{r}\operatorname {d} x={\frac {\left\{(x+a)(x+b)\right\}^{r}(x+b)}{r+1}}\times$

$\left\{1-{\frac {r}{r+2}}\left({\frac {x+b}{x+a}}\right)+{\frac {r^{2|-1}}{(r+3)^{2|-1}}}\left({\frac {x+b}{x+a}}\right)^{2}-{\frac {r^{3|-1}}{(r+4)^{3|-1}}}\left({\frac {x+b}{x+a}}\right)^{3}\right.$

$\left.+{\frac {r^{4|-1}}{(r+5)^{4|-1}}}\left({\frac {x+b}{x+a}}\right)^{4}-\ldots \right\}.$

Si l’on change, dans cette dernière formule, d’abord $x+b$ en $-(x+b),$ puis ensuite $b$ en $-b,$ et qu’on pose en outre $r=-{\frac {1}{2}}$, elle deviendra

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\sqrt {(a+x)(b-x)}}}=$

$-2\left\{\left({\frac {b-x}{a+x}}\right)^{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\left({\frac {b-x}{a+x}}\right)^{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {b-x}{a+x}}\right)^{\frac {5}{2}}-{\frac {1}{7}}\left({\frac {b-x}{a+x}}\right)^{\frac {7}{2}}+\ldots \right\},$

or, on a généralement,

$x=\operatorname {Tang} .x-{\frac {1}{3}}\operatorname {Tang} .^{3}x+{\frac {1}{5}}\operatorname {Tang} .^{5}x-{\frac {1}{7}}\operatorname {Tang} .^{7}x+\ldots \,;$

donc

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\sqrt {(a+x)(b-x)}}}=-2\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\sqrt {\frac {b-x}{a+x}}}\right).\qquad$(9)

On voit que cette méthode d’intégration s’applique immédiatement aux deux différentielles

${\frac {\operatorname {d} x}{\sqrt {A+Bx+Cx^{2}}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} x}{\sqrt {A+Bx-Cx^{2}}}},$

par un simple changement de signe, tandis que les méthodes ordinaires exigent un procédé propre pour chacune d’elles.

On peut remarquer en outre que les formules (4) et (5) renferment une infinité de cas particuliers qu’il ne serait pas facile de traiter sans le secours de la formule (2) ; car $r$ est une gran-