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ANALYSE TRANSCENDANTE.

Essai sur une méthode générale d’intégration ;

Par M. Le Barbier.

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Nous avons présenté, à la pag. 117, du précédent volume, l’essai d’une méthode générale d’intégration qui, appliquée aux fonctions qui sont le produit de deux facteurs, nous a conduit à des séries régulières, desquelles nous avons déduit, pour le cas de $m=1,$ les fonctions finies dont elles sont le développement. On peut en inférer, à ce qu’il nous paraît, que cette méîhode ne peut sembler illusoire, dans certains cas, que parce qu’on ne sait pas généralement remonter d’une série à sa fonction génératrice ; ou bien parce que la série à laquelle on parvient n’est pas convergente ; mais ces inconvéniens ne sont pas particuliers à cette méthode, puisqu’en général les intégrales qui sont du genre des transcendantes ne peuvent s’obtenir que par des séries.

Pour faire mieux apprécier ce qu’on peut se promettre de cette méthode, nous allons en présenter encore ici quelques nouvelles applications.

Reprenons la formule du bas de la page 122 du précédent volume ; savoir :

${\frac {\operatorname {d} ^{m}P.Q}{\operatorname {d} x^{m}}}=P{\frac {\operatorname {d} ^{m}Q}{\operatorname {d} x^{m}}}+{\frac {m}{1}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} ^{m-1}Q}{\operatorname {d} x^{m-1}}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {\operatorname {d} ^{m-2}Q}{\operatorname {d} x^{m-2}}}+\ldots \,;$ (1)

en y changeant le signe de $m$, elle deviendra