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$\operatorname {Tang} .^{3}R-\left(\operatorname {Tang} .^{2}a+\operatorname {Tang} .^{2}b+\operatorname {Tang} .^{2}c\right)\operatorname {Tang} .R$

$-2\operatorname {Tang} .a\operatorname {Tang} .b\operatorname {Tang} .c=0.$

Si ensuite on représente par $x,y,z$ les trois côtés du triangle ; en remarquant que ces côtés sont divisés en deux parties égales par les arcs $a,b,c$, on aura

$\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x={\frac {\operatorname {Cos} .R}{\operatorname {Cos} .a}},\quad \operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}y={\frac {\operatorname {Cos} .R}{\operatorname {Cos} .b}},\quad \operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}z={\frac {\operatorname {Cos} .R}{\operatorname {Cos} .c}}\,;$

et, une fois les trois côtés du triangle connus, il sera facile d’en conclure les trois angles.

Ces côtés et ces angles étant ainsi des fonctions de $R,$ dont la tangente est donnée par une équation du troisième degré, il en résulte que le problème est toujours possible. Il admettra d’ailleurs une, deux ou trois solutions, suivant que la fonction

$27\operatorname {Tang} .^{2}a\operatorname {Tang} .^{2}b\operatorname {Tang} .^{2}c-\left(\operatorname {Tang} .^{2}a+\operatorname {Tang} .^{2}b+\operatorname {Tang} .^{2}c\right)^{3},$

sera positive, nulle on négative.

Si, dans les deux derniers problèmes, on suppose le rayon de la sphère infini, ils deviendront respectivement les deux premiers que nous aurions pu ainsi nous dispenser de traiter en particulier.

QUESTIONS PROPOSÉES.

Problèmes de Géométrie.

I. Mener, dans l’intérieur d’un triangle, deux droites telles que chacune d’elles contienne les centres de gravité des aires des deux segmens du triangle, déterminés par l’autre ?

II. Conduire, dans l’intérieur d’un tétraèdre, trois plans tels que l’intersection de deux quelconques contienne les centres de gravité des volumes des deux segmens du tétraèdre, déterminés par le troisième ?