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Ces angles et ces côtés étant des fonctions de $r$, dont la cotangente est donnée par une équation du troisième degré, on peut en conclure que le problème est toujours possible. Il admettra d’ailleurs une, deux ou trois solutions, suivant que la fonction

$27\operatorname {Cot} .^{2}a\operatorname {Cot} .^{2}b\operatorname {Cot} .^{2}c-\left(\operatorname {Cot} .^{2}a+\operatorname {Cot} .^{2}b+\operatorname {Cot} .^{2}c\right)^{3},$

sera positive, nulle ou négative.

PROBLÈME iv. Étant données les longueurs des arcs perpendiculaires abaissés sur les directions des trois côtés d’un triangle sphérique du pôle du cercle circonscrit ; construire le triangle ?

Solution. Soient $a,b,c$ les trois longueurs données, $R$ le rayon sphérique du cercle circonscrit, et $2\alpha ,2\beta ,2\gamma$ les angles formés autour de son pôle par les arcs de grands cercles qui joignent ce pôle aux trois sommets. En considérant que ces angles sont divisés en deux parties égales par les arcs donnés $a,b,c$, on aura

$\operatorname {Cos} .\alpha ={\frac {\operatorname {Tang} .a}{\operatorname {Tang} .R}},\qquad \operatorname {Cos} .\beta ={\frac {\operatorname {Tang} .b}{\operatorname {Tang} .R}},\qquad \operatorname {Cos} .\gamma ={\frac {\operatorname {Tang} .c}{\operatorname {Tang} .R}}\,;$

d’où

$\operatorname {Sin} .\alpha ={\frac {\sqrt {\operatorname {Tang} .^{2}R-\operatorname {Tang} .^{2}a}}{\operatorname {Tang} .R}},\quad \operatorname {Cos} .\beta ={\frac {\sqrt {\operatorname {Tang} .^{2}R-\operatorname {Tang} .^{2}b}}{\operatorname {Tang} .R}},$

$\operatorname {Cos} .\gamma ={\frac {\sqrt {\operatorname {Tang} .^{2}R-\operatorname {Tang} .^{2}c}}{\operatorname {Tang} .R}}\,;$

mais on aura encore ici, comme dans le Problème II,

$\operatorname {Cos} .\gamma +\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta =\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta$

ce qui donnera, en substituant,

${\frac {\operatorname {Tang} .c}{\operatorname {Tang} .R}}+{\frac {\operatorname {Tang} .a\operatorname {Tang} .b}{\operatorname {Tang} .^{2}R}}$

$={\frac {\sqrt {\left(\operatorname {Tang} .^{2}R-\operatorname {Tang} .^{2}a\right)\left(\operatorname {Tang} .^{2}R-\operatorname {Tang} .^{2}b\right)}}{\operatorname {Tang} .^{2}R}}\,;$

c’est-à-dire,