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Solution. Soient $a,b,c$ les trois arcs donnés, $r$ le rayon sphérique du cercle inscrit, et $2\alpha ,2\beta ,2\gamma$ les angles que forment, autour de son pôle, les arcs de grands cercles qui joignent ce pôle aux trois points de contact. En observant que ces angles sont partagés en deux parties égales par les arcs $a,b,c$, on aura

$\operatorname {Cos} .\alpha ={\frac {\operatorname {Cot} .a}{\operatorname {Cot} .r}},\quad \operatorname {Cos} .\beta ={\frac {\operatorname {Cot} .b}{\operatorname {Cot} .r}},\quad \,;$

d’où

$\operatorname {Sin} .\alpha ={\frac {\sqrt {\operatorname {Cot} .^{2}r-\operatorname {Cot} .^{2}a}}{\operatorname {Cot} .r}},\ \operatorname {Sin} .\beta ={\frac {\sqrt {\operatorname {Cot} .^{2}r-\operatorname {Cot} .^{2}b}}{\operatorname {Cot} .r}},$

$\ \operatorname {Sin} .\gamma ={\frac {\sqrt {\operatorname {Cot} .^{2}r-\operatorname {Cot} .^{2}c}}{\operatorname {Cot} .r}}\,;$

or, on a ici, comme dans le Problème I,

$\operatorname {Cos} .\gamma +\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta =\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \,;$

il viendra donc, en substituant,

${\frac {\operatorname {Cot} .c}{\operatorname {Cot} .r}}+{\frac {\operatorname {Cot} .a\operatorname {Cot} .b}{\operatorname {Cot} .^{2}r}}={\frac {\sqrt {\left(\operatorname {Cot} .^{2}r-\operatorname {Cot} .^{2}a\right)\left(\operatorname {Cot} .^{2}r-\operatorname {Cot} .^{2}b\right)}}{\operatorname {Cot} .^{2}r}}\,;$

ce qui donnera

$\operatorname {Cot} .^{3}r-\left(\operatorname {Cot} .^{2}a+\operatorname {Cot} .^{2}b+\operatorname {Cot} .^{2}c\right)\operatorname {Cot} .r-2\operatorname {Cot} .a\operatorname {Cot} .b\operatorname {Cot} .c=0.$

Si présentement on représente par $X,Y,Z$ les trois angles du triangle demandé ; en remarquant que ces angles sont divisés en deux parties égales par les arcs donnés $a,b,c$, on aura

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}X={\frac {\operatorname {Sin} .r}{\operatorname {Sin} .a}},\quad \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}Y={\frac {\operatorname {Sin} .r}{\operatorname {Sin} .b}},\quad \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}Z={\frac {\operatorname {Sin} .r}{\operatorname {Sin} .c}}\,;$

et une fois les trois angles du triangle connus, il sera facile d’en conclure les trois côtés.