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une équation du troisième degré, il s’ensuit que le problème sera toujours possible, quels que soient les trois longueurs données $a,b,c$. En mettant l’équation en $r$ sous cette forme

$\left({\frac {1}{r}}\right)^{3}-\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}\right)\left({\frac {1}{r}}\right)-{\frac {2}{abc}}=0,$

elle sera sans second terme, et on en déduira que le problème doit avoir une, deux ou trois solutions, suivant que la fonction

${\frac {27}{a^{2}b^{2}c^{2}}}-\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}\right)^{3},$

est positive, nulle ou négative.

PROBLÈME II. Étant données les longueurs des perpendiculaires abaissées sur les directions des trois côtés d’un triangle du centre du cercle circonscrit ; construire le triangle ?

Solution. Soient $a,b,c$ les trois longueurs données, $R$ le rayon du cercle circonscrit, et $2\alpha ,2\beta ,2\gamma$ les angles formés autour de son centre par les droites qui joignent ce centre à ses trois sommets. En considérant que ces angles sont divisés en deux parties égales par les droites données $a,b,c$, on aura

$\operatorname {Cos} .\alpha ={\frac {a}{R}},\qquad \operatorname {Cos} .\beta ={\frac {b}{R}},\qquad \operatorname {Cos} .\gamma ={\frac {c}{R}}\,;$

et, par suite,

$\operatorname {Sin} .\alpha ={\frac {\sqrt {R^{2}-a^{2}}}{R}},\quad \operatorname {Sin} .\beta ={\frac {\sqrt {R^{2}-b^{2}}}{R}},\quad \operatorname {Sin} .\gamma ={\frac {\sqrt {R^{2}-c^{2}}}{R}},$

on aura d’ailleurs, comme ci-dessus,

$\operatorname {Cos} .\gamma +\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta =\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \,;$

ce qui donnera, en substituant,