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Nous nous estimerions heureux si les considérations qui précèdent pouvaient tendre à rendre un peu moins lointaine l’époque de cette importante découverte.

QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution de quatre des problèmes de géométrie
énoncés à la pag. 315 du précédent volume ;

Par M. Vallès, ingénieur des ponts et chaussées, ancien
élève de l’École polytechnique.

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Problème I. Étant données les longueurs des droites qui joignent les trois sommets d’un triangle au centre du cercle inscrit ; construire le triangle ?

Solution. Soient $a,b,c$ les trois longueurs données, $r$ le rayon du cercle inscrit au triangle, et $2\alpha ,2\beta ,2\gamma$ les angles que forment autour du centre de ce cercle les droites qui joignent ce centre aux trois points de contact. En observant que ces angles sont partagés en deux parties égales par les droites données $a,b,c,$ on aura

$\operatorname {Cos} .\alpha ={\frac {r}{a}},\qquad \operatorname {Cos} .\beta ={\frac {r}{b}},\qquad \operatorname {Cos} .\gamma ={\frac {r}{c}}\,;$

d’où

$\operatorname {Sin} .\alpha ={\frac {\sqrt {a^{2}-r^{2}}}{a}},\qquad \operatorname {Sin} .\beta ={\frac {\sqrt {b^{2}-r^{2}}}{b}},\qquad \operatorname {Sin} .\gamma ={\frac {\sqrt {c^{2}-r^{2}}}{c}},$

or, puisque $2\alpha +2\beta +2\gamma$ vaut quatre angles droits, $\alpha +\beta +\gamma$ doit