équations qui ne sont plus que du (m-1).ième degré seulement par rapport à . Par l’application réitérée du même procédé on parviendra successivement à des couples d’équations de degrés de moins en moins élevés ; de sorte qu’on arrivera finalement à deux équations du premier degré en , desquelles on déduira d’abord la valeur de , sous deux formes différentes, égalant ensuite entre elles les deux valeurs ainsi obtenues, l’équation résultante sera l’équation de relation demandée, et conséquemment l’équation finale en , si les coefficiens sont des fonctions de cette autre inconnue.
Si, par l’effet de l’abaissement successif des équations, par rapport à , on parvenait à deux équations d’un certain degré qui fussent exactement les mêmes, on en conclurait que leur premier membre est facteur des premiers membres des proposées. Ce facteur, égalé à zéro, donnerait donc des solutions indéterminées du problème, et, pour en avoir les solutions déterminées, il faudrait délivrer les premiers membres des proposées de leur facteur commun, et opérer sur les équations résultantes comme il a été dit ci-dessus.
Si, pour quelqu’une des valeurs de , déduites de l’équation finale, les valeurs de devenaient toutes deux indéterminées, il serait facile d’en conclure que les deux équations du premier degré en ont l’une et l’autre un facteur commun, fonction de que cette valeur rend nul, et qui satisfait ainsi aux deux proposées, quel que soit . Si enfin en cherchant à rabaisser le degré des proposées par rapport à , on tombait sur quelque équation absurde, on en conclurait que ces proposées sont incompatibles, et qu’ainsi le problème qui y a conduit est impossible.
Tel est, au fond, le procédé d’élimination exposé par Euler, dans l’endroit cité ; on a dit de ce procédé : 1.o qu’il ne faisait pas voir comment deux équations avaient lieu en même temps, tandis que rien ne semble plus propre à exprimer analitiquement cette circonstance que de combiner ces équations entre elles,
