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pour cela que d’y changer d’abord respectivement ${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}},{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}},{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}},$ en $-{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},-{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}},-{\frac {\operatorname {d} ^{3}y}{\operatorname {d} x^{3}}},\ldots$ d’y poser ensuite ${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}=0,$ et d’y faire enfin tous les autres coefficiens différentiels nuls.

xv. Terminons en appliquant ces généralités à la ligne du second ordre donnée par l’équation

$Ax^{2}+By^{2}+2Cxy+2Dx+2Ey+F=0.\qquad$(a)

On aura d’abord, pour le point $(x',y')$,

$Ax'^{2}+By'^{2}+2Cx'y'+2Dx'+2Ey'+F=0,\qquad$(b)

et de là

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}=2(Ax'+Cy'+D),\qquad {\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}=2(By'+Cx'+E),\\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}=2A,\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y}}=2C,\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}=2B,\\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{3}}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{2}\operatorname {d} y'}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'^{2}}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} y'^{3}}}=0.\end{aligned}}\right\}$(c)

Cela posé, la formule (17) donnera, pour l’équation de la tangente en $(x',y'),$

$(Ax'+Cy'+D)(x-x')+(By'+Cx'+E)(y-y')=0,$

ou bien

$Ax'x+By'y+C(x'y+y'x)+Dx+Ey$

$=Ax'^{2}+By'^{2}+2Cx'y'+Dx'+Ey',$

ou, en ajoutant l’équation (b) et réduisant,