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ce qui donnera, en substituant dans (5),

$V=\varpi \left(b^{2}q-a^{2}p\right)+{\frac {2}{3}}\varpi \left(q^{3}-p^{3}\right)$

$=\varpi \left(b^{2}q-a^{2}p\right)+{\frac {3}{3}}\varpi (q-p)\left(p^{2}+pq+q^{2}\right)\,;$

c’est-à-dire (2),

$V=\varpi \left(b^{2}q-a^{2}p\right)+{\frac {2}{3}}\varpi h\left(p^{2}+pq+q^{2}\right).\qquad$(6)

Mais les valeurs (4) donnent

${\begin{aligned}&b^{2}q-a^{2}p={\frac {\left(a^{2}+b^{2}\right)h}{2}}-{\frac {\left(a^{2}-b^{2}\right)h}{2h}},\\\\&p^{2}+pq+q^{2}={\frac {3\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{4h^{2}}}+{\frac {h^{2}}{4}}\,;\end{aligned}}$

substituant ces valeurs dans (6) et réduisant, il viendra finalement

$V=h{\frac {\varpi a^{2}+\varpi b^{2}}{2}}+{\frac {1}{6}}\varpi h^{3},$

qui est précisément le résultat donné par M. Legendre.

Si, du volume de ce segment, on retranche le volume du trônc du cône qui se termine à ses deux bases, lequel a, comme l’on sait, pour expression

$\varpi {\frac {h}{3}}\left(a^{2}+ab+b^{2}\right),$

on obtiendra, pour le volume du corps engendré par un segment de cercle tournant autour d’un diamètre qui lui est extérieur,

${\frac {\varpi h}{6}}\left\{(a-b)^{2}+h^{2}\right\}$

Mais, si l’on représente par $c$ la corde du segment générateur, on aura

$(a-b)^{2}+h^{2}=c^{2},$

ce qui donnera, en substituant, pour le volume cherché,

${\frac {\varpi hc^{2}}{6}}\,;$

expression remarquable par sa simplicité.