sera celle du lieu des milieux des cordes interceptées par la courbe proposée sur toutes les droites issues du point donné. Or, cette équation est du second degré, d’où il suit que la courbe dont il s’agit est une ligne du second ordre ; cette équation est privée du terme indépendant de et de , d’où il suit que la courbe en question passe par l’origine, c’est-à-dire, par le point donné ; enfin les coefficiens des termes du second ordre dans l’équation (2) sont les mêmes que dans l’équation (1) ; d’où il suit que la nouvelle courbe est homothétique avec la première.
THÉORÈME II. Les milieux des cordes interceptées par une surface du second ordre, sur des droites issues d’un même point de l’espace, sont sur une autre surface du second ordre qui lui est homothétique et qui passe par le point donné.
Démonstration. Soit pris encore ici le point donné pour origine des coordonnées qui pourront d’ailleurs avoir des directions quelconques, et soit alors
l’équation de la surface dont il s’agit. Une quelconque des droites issues du point donné aura des équations de la forme
Si, considérant ces trois équations comme celles d’un même problème déterminé, on élimine entre elles et , l’équation résultante en donnera les valeurs de qui répondent aux deux extrémités de la corde interceptée. Cette équation est
Si l’on représente par la valeur de qui répond au milieu de cette corde, pour les mêmes raisons que ci-dessus ; on aura
