Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1830-1831, Tome 21.djvu/286

$\operatorname {Log} .(n+x)-\operatorname {Log} .n,$

$x\left\{\operatorname {Log} .(n+1)-\operatorname {Log} .n\right\}.$

Or, en représentant par $M$ le module des tables vulgaires, on a

$\operatorname {Log} .(n+x)-\operatorname {Log} .n=\operatorname {Log} .\left(1+{\frac {x}{n}}\right)=M\left({\frac {x}{n}}-{\frac {x^{2}}{2n^{2}}}+{\frac {x^{3}}{3n^{3}}}-\ldots \right),$

$x\left\{\operatorname {Log} .(n+1)-\operatorname {Log} .n\right\}=x\operatorname {Log} .\left(1+{\frac {1}{n}}\right)$

$=M\left({\frac {x}{n}}-{\frac {x^{2}}{2n^{2}}}+{\frac {x^{3}}{3n^{3}}}-\ldots \right),\mathrm {(A)}$

Si l’on retranche membre à membre ces deux équations l’une de l’autre, on trouvera, en réduisant, et en désignant par $\varepsilon$ l’erreur commise,

$\varepsilon ={\frac {Mx}{n}}\left\{{\frac {1-x}{2n}}-{\frac {1-x^{2}}{3n^{2}}}+{\frac {1-x^{3}}{4n^{3}}}-{\frac {1-x^{4}}{5n^{4}}}+\ldots \right\}.\quad$(B)

Cette série étant convergente, et ayant ses termes alternativement positifs et négatifs, il en résulte qu’on a

$\varepsilon <{\frac {Mx}{n}}.{\frac {1-x}{2n}}\,;$

et, puisque $M$ est $<-{\frac {1}{2}}$ et que le maximum de $x(1-x)$ est ${\frac {1}{4}},$ il en résulte qu’on doit avoir, à fortiori,

$\varepsilon <{\frac {1}{16n^{2}}}.$

II. Supposons présentement qu’à l’inverse il soit question d’assigner le nombre qui répond à un logarithme donné. Soient $n$ et $n+1$ les deux nombres entiers consécutifs qui interceptent le nom-