Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1830-1831, Tome 21.djvu/283

Pour montrer, par un exemple, l’application de cette formule générale, nous reprendrons la série (9), traitée par Euler, c’est-à-dire, la série

$x-1.x^{2}+1.2x^{3}-1.2.3x^{4}+1.2.3.4x^{5}-1.2.3.4.5x^{6}+1.2.3.4.5.6x^{7}-\ldots$

Nous aurons ici

${\begin{alignedat}{5}a&=1,&\quad a'&=0,&\quad a''&=0,&\quad a'''&=0,&\quad a''''&=0,\ldots ,\\b&=1,&b'&=-1,&b''&=2,&b'''&=-6,&b''''&=24,\ldots \,;\end{alignedat}}$

il en résultera

${\begin{alignedat}{3}c&={\frac {ba'-ab'}{b}}=+1&d&={\frac {cb'-bc'}{c}}=+1&e&={\frac {dc'-cd'}{d}}=+2,\\\\c'&={\frac {ba''-ab''}{b}}=-2&d'&={\frac {cb''-bc''}{c}}=-4&e'&={\frac {dc''-cd''}{d}}=-12,\\\\c''&={\frac {ba'''-ab'''}{b}}=+6&d''&={\frac {cb'''-bc'''}{c}}=+18&e''&={\frac {dc'''-cd'''}{d}}=+72,\\\\c'''&={\frac {ba''''-ab''''}{b}}=-22&\ d'''&={\frac {cb''''-bc''''}{c}}=-36&\ e'''&={\frac {dc''''-cd''''}{d}}=-480,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

ce qui donnera, en substituant,

$x-1.x^{2}+1.2x^{3}-1.2.3x^{4}+1.2.3.4x^{5}-\ldots =$

${\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {2x}{1+{\cfrac {2x}{1+{\cfrac {3x}{1+{\cfrac {3x}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}$

comme Euler l’avait trouvé.

Nous nous proposons, dans un second mémoire, de revenir de nouveau sur ce sujet.