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${\frac {1}{1}},\quad {\frac {1}{2}},\quad {\frac {2}{3}},\quad {\frac {4}{7}},\quad {\frac {8}{13}},\quad {\frac {10}{17}},\quad {\frac {44}{73}},\quad {\frac {124}{209}},\ldots ,$

fractions alternativement plus grande et plus petite que la valeur de la série, mais convergent sans cesse vers cette valeur.

On sait que, $e$ étant la base du système de logarithmes de Néper, on a

$e^{x}=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}+{\frac {x^{4}}{1.2.3.4}}+{\frac {x^{5}}{1.2.3.4.5}}+\ldots$

On en conclut

${\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}}={\frac {2+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}+{\frac {x^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots }{{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}+{\frac {x^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots }}.$

En opérant sur la fraction qui forme le second membre de cette équation, comme on le fait dans la recherche du plus grand commun diviseur, on trouvera successivement les quotiens et les restes contenus dans le tableau suivant :

${\begin{array}{r|r}{\frac {2}{x}}&{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}+\quad {\frac {x^{3}}{1.2.3}}+\quad \ \ {\frac {x^{4}}{1.2.3.4}}+\qquad {\frac {x^{5}}{1.2.3.4.5}}+\ldots ,\\\\{\frac {6}{x}}&{\frac {x^{2}}{1.2.3}}+\ \ {\frac {2x^{3}}{1.2.3.4}}+\quad {\frac {3x^{4}}{1.2.3.4.5}}+\quad \ \ {\frac {4x^{5}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots ,\\\\{\frac {10}{x}}&+{\frac {2x^{3}}{1.2.3.4.5}}+\ \ {\frac {6x^{4}}{1.2.3.4.5.6}}+\quad {\frac {12x^{5}}{1.2.3.4.5.6.7}}+\ldots ,\\\\{\frac {14}{x}}&+{\frac {6x^{4}}{1.2.3.4.5.6.7}}+\ \ {\frac {24x^{5}}{1.2.3.4.5.6.7.8}}+\ldots ,\\\\{\frac {18}{x}}&+{\frac {24x^{5}}{1.2.3.4.5.6.7.8.9}}+\ldots ,\\\\\ldots &+\ldots \end{array}}$