Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1830-1831, Tome 21.djvu/273

${\frac {\sqrt[{x}]{e}}{x^{2}}}\int {\cfrac {\operatorname {d} x}{\sqrt[{x}]{e}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {3x}{1+{\cfrac {2x}{1+{\cfrac {4x}{1+{\cfrac {3x}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}$

Si, dans la série, on pose $x=1$, il viendra

$1-1.2+1.2.3-1.2.3.4+1.2.3.4.5-1.2.3.4.5.6+1.2.3.4.5.6.7-\ldots$

$={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {3}{1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {4}{1+{\cfrac {3}{1+{\cfrac {5}{1+{\cfrac {4}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}}\,;$

fraction continue qui est convergente ; car, en formant les réduites successives, on trouve

$1,\ {\frac {1}{3}},\ {\frac {1}{2}},\ {\frac {5}{13}},\ {\frac {5}{9}},\ {\frac {17}{37}},\ {\frac {7}{17}},\ {\frac {67}{167}},\ {\frac {85}{209}},\ldots \,;$

fractions alternativement trop grandes et trop petites, mais qui convergent vers la véritable valeur de la série, qui est comme l’on sait (Voy l’ouvrage cité de M. Lacroix, tom. iii, pag. 348),

$0{,}40365263\ldots$

Pour transformer la série

$x-1x^{2}+1.2x^{3}-1.2.3x^{4}+1.2.3.4x^{5}-1.2.3.4.5x^{5}+\ldots \qquad$(9)

en fraction continue, Euler, en représentant cette série par $A,$ pose $A={\frac {x}{1+B}},$ il en conclut