En égalant le deuxième vecteur à zéro. on obtient, comme ci-dessus, l’équation de la développée. Le premier facteur égalé à zéro donne l’axe des , c’est-à-dire, l’axe même de la courbe. Ce dernier résultat pouvait aisément être prévu. Si, en effet, par deux points d’une parabole, pris sur une même perpendiculaire à son axe, et ayant conséquemment la même abscisse, on mène des normales à cette courbe, ces normales concourront sur ce même âxe. On devrait donc trouver cette droite pour le lieu des points de concours des normales menées à la courbe par des points ayant même abscisse, mais des ordonnées de signes contraires.
Un autre inconvénient, attaché à l’emploi de la théorie des racines égales, c’est que, lorsque l’équation finale, soit en soit en , est d’un degré tant soit peu élevé, et complète, ou à peu près, la recherche de la condition nécessaire pour que deux de ses racines soient égales, peut être assez laborieuse pour décourager tout à fait le calculateur, ce qui semble militer en faveur de la méthode, incomparablement plus simple, dont nous venons de présenter l’essai.
Nous devons dire, en terminant, que nous n’ignorons pas que M. Poulet Delisle, dans son Application de l’algèbre à la géométrie, publiée en 1806, a déjà enseigné à obtenir, par les simples élémens, le cercle osculateur, et conséquemment le centre de courbure, pour chacune des trois lignes du second ordre ; d’où, il est ensuite facile de parvenir à l’équation de la développée. L’auteur, pour parvenir à son but, exprime qu’un cercle passe par trois points pris arbitrairement sur le périmètre de la courbe, et qu’ensuite ces trois points viennent se confondre en un seul ; ce qui établit une parfaite analogie entre la recherche du cercle osculateur et celle de la tangente. L’idée de présenter une théorie des développées n’est donc pas nouvelle ;
