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$8(x-p)^{3}=27py^{2}\,;$

équation connue de la développée ordinaire de la parabole.

Si, après avoir divisé par $t^{4}$ l’équation générale de la développée oblique, on y suppose ensuite $t=\infty ,$ en changeant toujours $\alpha$ et $\beta$ en $x$ et $y$ ; on retombera de nouveau sur l’équation

$y^{2}=2px,$

de la parabole proposée, ainsi que cela doit être, puisqu’alors là question revient à demander quelle est la courbe qu’enveloppent les perpendiculaires à toutes les normales à une parabole donnée.

Le procédé que nous venons d’employer, pour parvenir à l’équation de l’une des développées obliques d’une parabole, s’appliquera également, sans difficulté, à toute autre courbe dans l’équation de laquelle l’une des coordonnées n’entrera qu’au premier degré. Mais il n’en sera pas toujours de même dans le cas où, à une même valeur de chaque coordonnée, répondront plusieurs valeurs de l’autre ; car alors il ne suffira pas, pour exprimer que deux points de la courbe se confondent en un seul, d’écrire que ces deux points ont une coordonnée commune. L’équation en $\alpha$ et $\beta ,$ qu’on obtient dans ce cas, peut donc alors se trouver compliquée de solutions étrangères, dont il est préalablement nécessaire de la délivrer.

Pour faire mieux comprendre cette difficulté, par un exemple où elle est facile à faire disparaître, nous reprendrons la question que nous venons de traiter ; mais, au lieu d’éliminer $x$ entre les équations (1) et (5), nous en éliminerons $y$ ; ce qui, en supposant $t=0$, conduira à l’équation du troisième degré en $x$

$2x^{4}-4(\alpha -p)x^{2}+2(\alpha -p)x-p\beta ^{2}=0.$

Si l’on exprime que cette équation a deux racines égales, cela donnera